AMC 12超全知识点汇总【2024更新】

AMC 12（American Mathematics Competition）由12年级及12年级以下学生参加，参加AMC12考试的当天年龄需小于19.5岁。达到分数线的考生会获得荣誉证书，并受邀参加美国数学邀请赛（AIME），每年分数线会根据整体情况有所调整。

那么，AMC的考点有哪些？能从哪些方面下手备考呢？快跟小悟空一起看看吧！

一、AMC 12考点有哪些？

AMC10与AMC12的差异

AMC12的大部分考点都是与AMC10一致的，整份试卷中也会有10题左右是完全相同的。差异在于，代数模块多了大量的知识点，这些知识点基本是高中课内内容；此外在几何、数论、组合模块各多了少量的知识点，这些知识点大多比较复杂，一般出现在后10题中，掌握这些知识点是冲击高分的关键。

AMC12涵盖了AMC10的所有知识点之外还包括三角学、高级代数和高级几何学，但不包括微积分。

AMC12考点

1、代数

本部分主要考察：各种因式分解的方法及其广泛的应用、指数运算的基本法则及解方程、高中阶段代数知识、不等式理论、多项式理论和二项式定理。

2、平面几何

本部分主要考察：等腰，等边和直角三角形的计算、特殊角的基本三角函数计算、相似图形的判别和周长与面积的计算、初中几何的相关结论和证明、内接圆、外切图形的结论。

3、数论

本部分主要考察：整除理论、同余理论、费尔马小定理和算术基本定理等、数论证明、了解Diophantineequations的类型以及与整除理论的关系、掌握线性Diophantineequations的原理，解法及应用。

4、排列组合

本部分主要考察：计数原理、掌握排列组合原理和计算、Exclusion–inclusionprinciple、pigeon-holeprinciple解决实际问题、组合问题的实际应用、统计初步：平均数，众数，中位数及加权平均数的计算。

5、三角函数

本部分主要考察：三角基础知识和公式、三角函数的计算和化简、三角函数的综合应用、掌握三角函数和三角方程的学术活动题解法。

6、数列和级数

本部分主要考察：等差等比数列解法、复杂的等差数列与等比数列的应用、学习解特殊数列和级数的相关技巧、三角、代数和组合相结合的学术活动题解法。

7、复数和图论

本部分主要考察：复习复数知识和词汇，学习初步图论、计数和组合的联系、重点联系上述与其他知识的综合题的解法。

二、AMC12 考试时间分配表

三、答题公式与口诀（部分）

开头我们就说了，学会了知识点还不够，还要学会灵活运用！哪里能体现灵活运用，那就是充分了解【必考题型】，将知识点与题进行的完美结合。这时候与大家分享几个关于题型的口诀：

①在应用题、几何题、数列题、函数题中，如果题目中的变量都是整数时，很有可能是数论题。

解决方案：需要用到数论相关知识，例如分析因子和倍数关系或者列出整数方程再求解。

②概率类题目要搞清楚是否为几何型概率，是否是无穷状态类问题，是否是equally likely outcome型概率，然后再选择对应的方法。

③两人游戏类问题，简单情况可以直接枚举进行讨论；复杂情况可以先用配对和镜像的方法进行尝试，若不行再从简单的初始条件出发，寻找winning position和losing position，并找出一般规律。

④利用对称性化简问题，组合计数题目可以根据对称性减少需要计算的情况；具有对称性的方程组可以尝试相加或者相减，再进行因式分解；光线传播类问题需要对图形作对称让光线沿直线传播。

举例来说：例如给正方体染成2黑4白和2白4黑的情况是一样的。例如光线传播类问题需要对图形作对称让光线沿直线传播。

⑤熟悉函数图像的画法：基本函数（线性、二次、指数、多项式、有理函数）、特殊函数（绝对值、取整函数）、复合函数图像以及图像的平移、伸缩和对称变换。

⑥后面几道题不要看都不看直接跳过，说不定某道题你恰好就会！

AMC12部分需要记住的公式：

代数：各函数的图像特征（二次 三角 指对数 绝对值 取整函数 复合函数 反函数 平移、伸缩、对称等图像变换），三角恒等变换公式，复数相关公式，对数运算公式，递推数列求解通项方法，均值不等式，高次方程韦达定理，坐标系中距离公式（点-点，点-直线，直线-直线），直线夹角公式，鞋带定理；

几何：常见面积和体积公式，勾股定理，角平分线定理，正余弦定理，圆幂计算公式，三角形center的相关性质，圆内接四边形的相关性质，托勒密定理，Stewart定理；

数论：因式分解公式，因数相关公式（个数、和、乘积），进制转化公式，同余计算法则与同余方程解法，中国剩余定理；

组合：插板法公式，二项式定理，容斥原理公式；

四、答题注意事项（Tips）

❶做题过程中的注意事项

AMC中有些题目文字较多，基本上数学题中不会有没用的信息，因此一定要仔细读题看图，如果线下考试的话在上卷上标记出重要信息，如果线上考试则在草稿纸上写下题目的重点信息；

线上考试的同学，几何题无论有没有给图，都在草稿纸上画一遍图（建议多准备几支不同颜色的笔）；

草稿也不要写得太乱，要让自己检查的时候很快能找到每一步的计算结果；

双语试卷读题时，先看自己熟悉的语言，如果觉得题目有歧义，再看另一种语言来确认；如果有配图的，可以先看图再看文字；

❷解题前，先想一想：

➤ 几何题可以想想能不能建系做？如果建系的话，计算量是否合适？最后决定用什么方法；

➤ 三角函数化简问题，可以考虑能不能用复数表示后再化简；坐标系中涉及点旋转的问题，可以考虑用复数表示；

➤ 递推数列问题，先算几项找找规律，看看是不是周期数列；再思考能不能用累加累乘或者特征方程求解通项；如果不可以求通项，可以考虑相邻两个式子相减，消常数后因式分解或者构造新数列；如果递推关系明显与整数有关，需要从数论的角度来考虑；

➤ 在应用题、几何题、数列题、函数题中，如果题目中的变量都是整数时，很有可能是数论题目，需要用到数论相关知识，例如分析因数和倍数关系或者列出整数方程再求解。

➤ 组合题要分清楚题目类型，是计数问题，概率问题，2人游戏问题，组合极值问题，它们的解题方法是有差异的；

➤ 概率类题目要搞清楚题目类型，等可能性结果的概率，非等可能性结果的概率，条件概率，几何型概率，无穷时间状态类问题，然后再选择对应的方法。

➤ 组合计数题中，“至少存在（at least）”类问题和“都不满足”类问题，可以考虑算反面（complementary counting）和容斥原理（PIE）；间隔与相邻类问题，分配与选择问题，可以考虑插板法；经过分类讨论， 能把情况n变为n-1或n-2或者更小的情况，可以考虑递推方法；

➤ 观察题目中是否有对称性，从而化简问题：组合计数题目可以根据对称性减少需要计算的情况（例如给正方体染成2黑4白和2白4黑的情况是一样的）；具有对称性的方程组可以尝试相加或者相减再进行因式分解；光线传播类问题需要对图形作对称让光线沿直线传播。

❸选择题答题技巧

➤ 设数法：部分题目可以自行假设一些便于解题的条件

① 方程个数少于变量的时候，可以假设其中某些变量为特定值。（不适用于整数方程）；

② 递推数列的前几项是比较大或者复杂的数时，可以自己假设一些简单值或者直接假设变量进行递推，可能会有周期性或者明显的规律；

③ 几何题中给出的信息不足以确定一个图形时，可以自己假设一些额外的角度或者边长条件；

➤ 度量法：对于部分几何题，如果题目条件能够唯一确定图形时，可以作出标准图；当题目条件不能唯一确定图形时，可以画出某种特殊情况下的图形。而后可以通过度量边长或者角度直接得到答案（但是近年来出题人会有意规避这种可能，所以能用到的机会不大）

➤ 找规律：递推数列、递推函数、新定义的数论函数、组合递推问题、二人游戏问题，都可以先从最简单的初始情况开始研究，争取发现规律。

总结

AMC12考试涵盖了代数、几何、数论、排列组合等多个数学领域，需要考生熟练掌握各知识点。同时，答题时需注意时间分配，确保每道题都有足够的时间去思考和解答。此外，答题技巧也非常重要，如掌握常见的解题口诀和公式，能够提高解题效率。最后，要特别注意做题过程中的细节问题，如仔细读题、检查答案等。只有知识点和技巧相结合，才能取得更好的成绩。

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